Форум DL

Мой профиль

Отчаявшись найти еще полезную информацию по теме "Как учить думать?", я решил поискать ответ на вопрос "Как учить математике?"
Ведь если человека научат математике, то его скорей всего и думать научат автоматически. Кроме того, практика показывает, что ребята, которые сильны в математике, очень быстро при желании выдвигаются на ведущие позиции в программировании. Поэтому в наших интересах и просто учить математике наших учеников.

Мой профиль

В Интернете есть статья о математическом образовании школьников в России, написанная Н.Н.Константиновым (в марте 2001 года)
http://www.mccme.ru/teachers/articles/russmath.htm

Далее идет конспект этой статьи:

...
Выделяются две группы мероприятий: направленные на обучение и соревнования. Ядром системы является обучение, соревнования же служат наполнению классов и кружков, кроме того, они - украшение системы, которое придает учебе характер большого праздника.
...
Важной особенностью этого времени (18-19 век)было то, что ни в гимназии, ни в университеты народ не шел. Для привлечения к учебе придумывались специальные меры, например, человек, поступавший в университет, уже при поступлении получал личное дворянство и шпагу.
...
Широкое осознание необходимости образования произошло в Российском обществе позже, примерно в 60-е годы, когда в гимназии, реальные училища и университеты хлынули разночинцы. Тогда некоторые министры даже перепугались, что скоро некому будет пахать. Меры привлечения сменились мерами ограничения, но было поздно. Стремление народа к образованию, если оно внутреннее, остановить нельзя.
...
Наряду со становлением в России уникальной системы работы с продвинутыми школьниками, в последние десятилетия наблюдается постоянное снижение уровня массового математического образования. Причину я вижу в том, что уже много лет в педвузы почти не идут сильные студенты, а это объясняется крайне неудовлетворительным уровнем жизни учителей, прежде всего - крайне низкой зарплатой. Но пострадал не только уровень учителей - под ударом вся система образования, включая управляющие структуры. Толковые добросовестные работники встречаются все реже. Их героическая борьба за сохранение образования все более контрастирует с бюрократической системой, давно ставшей свалкой для негодных работников, которые действуют по своему разумению и по законам бюрократии. Одна надежда - что нашей страной невозможно управлять и здоровые силы каким-то образом возьмут свое.
...
Основные принципы работы в математических классах - тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встечаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа - они способны надолго увлечь большинство учащихся. Но выбор тем сильно зависит от преподавателей, от их способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе учащихся в ней.

Тщательность означает, что тема проходится не временно ("в вузе вас этому обучат как следует"), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Основная роль учителя - не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам ученика. Этот интерес и является основным стимулом, который имеется в руках учителя, а вовсе не двойки и пятерки, которые, конечно, что-то стимулируют, но, к сожалению, совсем не то, что требуется.

Неторопливость означает, что на каждую трудность уходит столько времени, сколько нужно. Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно к определенному сроку что-то "пройти" - неважно хорошо или плохо. Это - беда, так как в результате не пройдено ничего, и всем становится неинтересно - и ученикам, и учителям.

Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, иногда почти весь материал, выполняется учащимися самостоятельно - они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых задач и теорем. Прямой рассказ учителя малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных учеников видит разницу между фразами: "для любого С найдется х, который больше С" и "найдется х, который больше любого С". Вот и судите, много ли поймут ученики из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки учителя становится структурирование материала.

При таком преподавании необходим не выборочный контроль на зачете или экзамене, а сплошной контроль. Для этого требуется много учителей. Выход находится в привлечении студентов. В сильных школах в классе работает несколько учителей математики. Привлекаются сильные студенты, часто победители крупных олимпиад. Студенты с удовольствием повторяют со школьниками свое математическое детство. Отношения студентов со школьниками подобны отношениям старших братьев с младшими, в то время как отношения профессиональных учителей с учащимимся подобны отношениям родителей с детьми. Присутствие в школе студентов заметно меняет атмосферу, сглаживая возрастные барьеры.

Важной особенностью сильных математических классов и школ является участие в их работе профессиональных математиков. Значение такого участия трудно объяснить, однако почти каждая биография крупного ученого подтверждает латинскую пословицу: "Каждая клетка из клетки", ибо и учитель такого ученого оказывается сам достаточно крупным ученым. Научная вера руководителя может быть основана либо на собственном живом опыте, либо на воспоминаниях о собственном опыте, либо на усвоенном чужом опыте. Первый вариант самый ценный.
...
Стоит отметить, что среди учителей математических классов распространено убеждение, что не следует специально готовить учеников к выступлениям на олимпиадах. Хорошее выступление на олимпиаде должно быть побочным следствием достигнутого математического уровня, а не результатом специального изучения известных типов задач и методов их решения. Это, конечно, не означает, что не нужно изучать поучительные олимпиадные задачи, содержащие полезные методы и идеи, но их нужно изучать не ради олимпиад. Сильные школьники - слишком драгоценное национальное достояние, чтобы тратить их силы и время на такую безделицу, как престиж города или страны.
...
Для осуществления всех названных возможностей развития системы математического образования необходимы не только интеллектуальные, но и финансовые вложения, так как объемную и регулярную работу невозможно обеспечить за счет чистого энтузиазма.

Мой профиль

Ломоносов был прав
Чем бы вы ни собирались заниматься, изучайте математику. Это окупается.
http://www.smoney.ru/article.shtml?2006/10/16/1527

Joensen J., Nielsen H. Is there a causal effect of high school math on labor market outcomes? IZA Discussion Paper.
№ 2357. Oct. 2006.

Известная мысль Михайлы Ломоносова «математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» получила подтверждение в свежей работе датских экономистов Йоанны Йонсен и Хелены Нильсен*. Они изучили статистику по средним учебным заведениям Дании, которые в 1965 г. были разделены на две большие группы — школы с математическим и с языковым уклоном. В старших классах школ первого типа на математику отводилось по 3-6 часов в неделю в течение трех лет, второго типа — по 3 часа в неделю в течение двух лет. Исследователи взяли данные за 1986-1987 гг., когда плата за получение дополнительного математического образования была снижена. Кроме того, отмечают Йонсен и Нильсен, судить о влиянии школьного курса математики на дальнейшую карьеру выпускников предпочтительнее по тем из них, кому сейчас уже серьезно за тридцать.

Оказалось, что через 13 лет после получения среднего образования выпускники «математических» школ получают зарплату на 30% выше, чем их «языковые» сверстники. Поступая на работу, «математик» при прочих равных может рассчитывать на 10-процентную прибавку к зарплате в сравнении с «лингвистом». Установлено также, что ученики, увлекающиеся химией, становятся впоследствии более успешными химиками, если в школе наряду с продвинутым курсом любимой химии изучают дополнительные главы из математики, а не физики, например.

Понимая, что пересмотр учебных планов в общегосударственном масштабе приведет к продолжительным дебатам в парламенте по бюджету, Йонсен и Нильсен в конце работы оговариваются: для выпускников других лет и на другом временном горизонте влияние математического образования может быть иным. Хотя обе исследовательницы убеждены, что такое влияние в любом случае положительно.

Более того, рассуждая о пользе теории множеств и прочей стереометрии для карьеры, датчанки пришли к довольно неожиданным обобщениям. Вот вопрос: что делать жителям Запада в условиях, когда почти все промышленное производство уже перенесено в страны с низкой оплатой труда? Как сохранить конкурентоспособность в новом международном разделении труда, чтобы не потерять свои более высокие доходы? Очень просто: европейцам и американцам еще со школьной скамьи необходимо усиленно тренировать мозг, включив в учебные планы больше математики и особенно геометрии, которая не только учит логически мыслить, но и развивает пространственное воображение. Пока до этого не додумались индийцы с китайцами.

Александр Малютин
16 октября 2006

Мой профиль

Тайские школьники учат математику с помощью Microsoft MultiPoint
http://www.osp.ru/news/2009/0528/9131826/

Министерство образования Таиланда проводит опыты по применению в школах программного пакета Microsoft MultiPoint (Видео ). Он позволяет подключить к одному компьютеру множество мышек и работать с ними одновременно на одном экране - со своим курсором для каждого ученика в классе. Учитель может, например, вывести на экран вопрос и дать возможность ответить всем ученикам, а не одному, как обычно. Школьникам очень нравится такой метод.

К концу года в министерстве рассчитывают оборудовать системой MultiPoint по пятых-десятых классов в ста школах страны, а со временем увеличить число таких школ до 800. Для развивающейся страны это немалые деньги. Оборудование одного класса обходится примерно в 2 тыс. долл., а бюджет министерства образования на 2009 год составляет 9,6 млрд долл.

Ряд компаний и некоммерческих организаций ведет сейчас проекты по расширению использования компьютеров в развивающихся странах. Но, в отличие от Таиланда, не везде такие проекты приветствуются. Некоторые заявляют, что для компаний это лишь средство расширить рынки сбыта.

Мой профиль

Лучшие десять советов
Как учить ребенка с СДВ/Г
http://adhd-kids.narod.ru/articles/top10_teaching_tips.html

Оригинал "Top 10 Teaching Tips" (Кэрол Л. Барньер) на сайте:
http://www.westfieldacademy.org/adhd/

А ниже конспект этой статьи:

...
Когда я только занялась семейным обучением нашего сына с СДВГ, я всюду искала советы – КАК учить этого ребенка, который столько отвлекается. Я нашла много томов информации о том, как узнать ребенка с СДВГ, как управлять ребенком с СДВГ, как лечить его, как наказывать и как принимать его. Но я не нашла практически ничего о том, как утром в понедельник учить ребенка с СДВ/Г математике или чтению.

Так что я окунулась в мир семейного обучения, стараясь приложить типичные учительские стратегии к своему нетипичному ребенку. Через шесть трудных месяцев я перестала думать о том, "что помогает большинству детей" и начала, наконец, думать, что поможет МОЕМУ ребенку. Со временем в нашей домашней школе появились собственные учительские наработки, которые действительно помогли изменить ситуацию – особенно с чтением и математикой. Как бы я хотела, чтобы кто-нибудь поделился со мной такими наработками ДО того, как мне пришлось пройти эти шесть трудных месяцев. Так что цель этого сайта – поделиться нашим опытом в надежде, что он окажется полезным для других родителей детей с СДВ/Г.
...
ДЕСЯТЬ ЛУЧШИХ СОВЕТОВ ПО ОБУЧЕНИЮ

1. Как заставить рабочие тетради по математике ЗАРАБОТАТЬ

2. Пусть занимаются двумя делами одновременно

3. Позвольте им отвечать устно

4. Привнесите движение куда только можно

5. Поставьте зрительные и слуховые заглушки

6. Найдите удовольствие в правилах чтения!
(И во многом другом тоже)

7. Не надо делать все задания в каждой книжке

8. Дайте ребенку список заданий на день

9. Следите за своим учительским темпераментом

10. Забудьте, что говорят другие... РАЗГЛЯДИТЕ В СВОЕМ РЕБЕНКЕ ДАР

Мой профиль

Чему учить: вариативности или математике?
http://www.russia-today.ru/2002/no_11/11_continuation_1.htm

Германия в шоке: в общемировом тестировании немецкие дети оказались на 20-м месте по математике и естественным наукам. Это показало исследование (проект PISA), проведенное Организацией экономического сотрудничества и развития (ОЭСР) в 31 стране. Четвертая часть немецких детей оказались не способны справиться с математическими заданиями начальной школы.

Российские школьники в этом тестировании заняли 22-е место по математике и 27-е по естественным наукам. (Ради справедливости надо назвать лидеров проекта PISA, это — японцы, южнокорейцы, финны, канадцы, австралийцы.)

Еще в марте 1983 года в палате представителей конгресса США большинством голосов (348 против 54) проведен закон “О чрезвычайном положении в преподавании математики и естественных наук”, в соответствии с которым для улучшения положения в данных областях выделено 425 млн долларов в год. Средняя школа расширила преподавание математики и естественно-научных дисциплин соответственно на 49 и 33 процента. Правда, вопреки всем этим мерам, школьники США, по оценкам экспертов, все еще уступают в знаниях по математике своим зарубежным сверстникам.

Впрочем, ладно бы еще школьники... По данным Американского математического общества, среди американских учителей математики разделить число 1 1/2 на число 1/4 может около 2 процентов всех учителей.

“Штат Калифорния принял недавно постановление требовать при поступлении в вузы умения делить 111 на 3 без компьютера (что было для большинства поступающих неодолимым препятствием), — делится своими впечатлениями один из крупнейших математиков современности, академик РАН Владимир Арнольд. — Федеральное правительство обвинило калифорнийцев в антиконституционной чрезмерной требовательности. Надеюсь, что наша реформа не понизит математический уровень наших школьников и студентов до американского, хотя объявленная цель реформирования именно такова”.

Кто-то, наверное, скажет: “Преувеличивает Владимир Игоревич!” По-моему, смягчает.

Вот всего лишь две задачки из книги, рекомендованной Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для учащихся:

а) “У иностранного диверсанта было задание: темной ночью взорвать 20 общеобразовательных школ. Диверсант перевыполнил это задание на одну пятую его часть. Сколько счастливых детей смогут отдохнуть от общего образования, если известно, что в каждой взорванной школе томилось по 756 учеников?”

б) “Из каждых 2575 двоечников один становится директором школы. Из скольких двоечников получится 14 директоров школ?”

(Григорий Остер. Задачник: Ненаглядное пособие по математике. – М.: Спарк, 1992.)

А для публики (то есть для всех нас – родителей девочек и мальчиков, которым и рекомендуют учиться арифметике по “ненаглядным пособиям”) все это заворачивается в обложку, на которой красиво выведено: “ВАРИАТИВНОСТЬ ОБРАЗОВАНИЯ”.

Так, в “Основных направлениях социально-экономической политики правительства Российской Федерации на долгосрочную перспективу” записано: “Главная стратегическая линия развития общего среднего образования состоит в его адаптации к изменившимся социально-экономическим условиям <...> Необходимые условия реализации этой линии: личностная ориентированность и индивидуализация образовательного процесса; многообразие образовательных учреждений и вариативность образовательных программ; эффективная поддержка инновационных мероприятий” (здесь и далее курсив мой. — А. В.).

Для сравнения: федеральный закон США “Цели 2000 года — образование для Америки”, принятый в 1994 году, определил общенациональную стратегию в области среднего образования следующим образом: рост численности молодежи, заканчивающей среднюю школу; повышение уровня общей подготовки школьников, а также в области математики и естественных дисциплин; повышение общей грамотности населения; улучшение подготовки педагогических кадров; обеспечение безопасности участия родителей в учебно-воспитательном процессе. (Недаром еще в 1964 году президент США Линдон Джонсон заявил: “Ответ на все наши национальные проблемы… сводится к одному-единственному – к образованию”.)

Обратите внимание: Америка, по существу, выстраивает общенациональную систему целей на основе в первую очередь математического образования. Закон “Цели 2000...”, в частности, предусматривает выделение финансовых грантов штатам и местным органам власти для разработки стандартов образования и улучшения его инфраструктуры. У нас же эти стандарты в области математического образования на глазах размываются. Как иначе интерпретировать цитированный выше эвфемизм — “вариативность образовательных программ”? И это, увы, не только лингвистическая конструкция. Последствия ее реализации сказываются на всей системе школьного математического образования, и особенно на начальном...

В сентябре 2000 года в подмосковном наукограде Дубна прошла Всероссийская конференция “Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков”. В одном из докладов был представлен сравнительный анализ тезаурусов учебников математики Л. Г. Петерсон и М. И. Моро для начальной школы. Оказалось, что составы тезауруса и терминологического словаря учебников 1—3-х классов из комплекта Л. Г. Петерсон значительно превосходят в количественном отношении соответствующие составы всего учебного комплекта М. И. Моро. Сравнение тезаурусов двух комплектов учебников показывает, что общая их часть составляет 160 слов и словосочетаний, то есть 51,3 процента от тезауруса комплекта М. И. Моро и др. и 30 процентов от тезауруса комплекта Л. Г. Петерсон.

“Гипотетически несложно представить двух пятиклассников, оказавшихся в одном классе, один из которых обучался по первому комплекту, а другой — по второму (что, впрочем, не исключено и в реальной жизни), — комментируют полученные данные авторы исследования. — Понятно, что уровень содержательной готовности к дальнейшему обучению у этих двух учеников будет значительно отличаться. Кроме того, в пятых, шестых классах Министерством образования РФ также рекомендованы вариативные комплекты учебных изданий, которые, в свою очередь, тоже несут следы терминологической индивидуальности. Поэтому вопрос о формировании инвариантного базисного языкового пространства школьных учебников математики для 1—6-х классов является весьма актуальным. Его формирование позволит дать определенные ориентиры как школьным учителям, так и авторам учебников и учебных пособий; количественно и качественно оценивать лексику вновь появляющихся учебных комплектов; более объективно сформировать стандарты начального математического образования”.

Другими словами, сегодня в России у двух четвероклассников-отличников, обучавшихся по разным учебникам математики, знания “пересекаются” в лучшем случае на 50 процентов.

“Работать начальной школе в спокойной и привычной для учителя обстановке не дают, — уверен Юрий Колягин, доктор педагогических наук, академик Российской академии образования. — С помощью министерства стараются внедрить те системы обучения, которые не прижились в школе 20 лет назад и которые почему-то считают хорошими для нынешней школы. Главным и “застарелым” недостатком этих “прогрессивных систем обучения” является то, что все они не желают (и часто не могут) продолжаться за пределами начальной школы. И разно подготовленные, и разно ориентированные дети попадают далее в обычную школу. Результат, как правило, бывает плачевным. А детей жалко!”

Мой профиль

(продолжение)

Между тем, пропагандируя идею так называемой вариативности учебных программ, отечественные реформаторы образования вольно или невольно опять наступают на одни и те же “классические” грабли. Еще в конце 80-х годов прошлого века нобелевский лауреат Андрей Дмитриевич Сахаров так высказался по поводу затеянной тогда реформы математического образования: “...скажу, что считаю эту перестройку неудачной, “заумной”. Мне кажется, что введение в школьный курс идей теории множеств и математической логики не приводит к большей глубине понимания — для детей это все преждевременно и вовсе не самое главное для практического освоения методов математики, так нужных в современной жизни: мне кажется гораздо более правильным сочетание классических методов изложения, пусть даже не отвечающих современному “бурбакизму”, но ведь на Евклиде учились и росли многие поколения”.

Решение проблемы учебников математики лежит на поверхности: математику нельзя понять и изучить, не решая задач. “Главное в преподавании — не зубрежка, а решение задач”, — подчеркивает академик Владимир Арнольд. Но сегодня классические задачники по математике советских времен вычеркнуты из нашей образовательной реальности. Взамен же мы получили опусы Григория Остера.

Мой профиль

Американцы приезжают к нам учиться математике (27 января 2005 года)
http://www.school.edu.ru/news.asp?ob_no=22889

На днях закончился очередной семестр для иностранных студентов, приезжающих учиться в Москву, в Независимый Московский университет - элитарное высшее учебное заведение, готовящее профессиональных математиков.

В 2001 году в Независимом Московском университете открыта программа для иностранных студентов на английском языке "Math in Moscow" ("Математика в Москве"). Сюда приглашают на семестр или на весь учебный год студентов американских и канадских вузов. Отбирая кандидатов на стажировки, в Независимом университете смотрят на их математическую подготовку: здесь настолько высок уровень математического образования, что далеко не все иностранцы могут ему соответствовать. Американское и Канадское математические общества выделили стипендии для тех, кто приезжает учиться в Россию. Стипендий - немного, и на них существует весьма серьезный конкурс. Они покрывают расходы на обучение, дорогу и частично проживание. Деньги, которые иностранные студенты платят за образование, составляет значительную долю бюджета университета (российские студенты учатся в нем бесплатно и даже получают стипендию).

Иностранцев в первую очередь привлекает то, что здесь работают математики с мировым именем: академик Владимир Арнольд, ректор университета Юлий Ильяшенко (одновременно он - профессор Корнельского университета), академик Виктор Васильев. На стажировку приезжают студенты Гарварда, Беркли, MIT (Массачусетсский технологический университет), Монреальского университета. В феврале приедет студентка из Принстона.

В математических кругах Независимый университет весьма известен, поэтому все западные преподаватели - выходцы из России, рекомендуют способным студентам стажироваться в НМУ (сегодня практически во всех крупнейших математических центрах работают бывшие и нынешние наши соотечественники).

Этот вуз сотрудничает и с "Эколь Нормаль Супериор" - самым элитным (по уровню преподавания) университетом Франции. Каждый год между этими двумя вузами происходят обмены. Пятикурсники или аспиранты из Москвы на месяц едут в "Эколь Нормаль" и наоборот - французские студенты приезжают в Россию.

Независимый университет дополняет мехмат МГУ, поскольку он не настолько привязан к государственным программам; его преподавателям проще отследить наиболее современные тенденции в развитии математики; здесь больше возможностей для эксперимента, для индивидуальной работы. При этом все преподаватели Независимого университета в свое время закончили МГУ, а большинство студентов НМУ параллельно учатся на мехмате.

Сегодня много говорят о нестыковке программ наших вузов с западными (для "состыкования" мы и вступили в Болонский процесс). Актуальна ли эта проблема для международных программ Независимого университета? По словам координатора проекта "Math in Moscow" Ирины ПАРАМОНОВОЙ, если говорить об американских студентах, ситуация такова: пока они еще не аспиранты, можно сказать, что математике их учат плоховато.

- Есть такие базовые математические понятия, которыми владеют даже слабые российские студенты. А у американцев с этим всегда проблема. Например, линейная алгебра. Это то, без чего не может обойтись большая часть математики. Плоховато у них и с геометрией (даже на школьном уровне). У нас даже в техническом вузе невозможно преподавать математику совсем без доказательств. Для американцев же это вполне нормально. Если в математическом курсе есть хоть сколько-то доказательств, его уже считают продвинутым. А в основном у американцев - описательные курсы (речь идет о так называемом периоде undergraduate (доаспирантском). Потом они слушают более серьезные курсы. В целом же в Америке распространена какая-то облегченная математика. Мне кажется, что наше математическое образование сильнее. И студенты, и аспиранты, приезжающие к нам, это признают. То, что мы считаем элементарной математикой, для них, скорее, уровень аспирантуры. У нас был неплохой (не самый лучший) американский студент. Так вот, вернувшись домой, в письмах к нам, он пишет, что ему там скучно, нечего делать, что он вдруг оказался самым сильным. И что ему хочется снова приехать в Москву.

Известия науки
http://www.inauka.ru/education/article52071.html

Мой профиль

О преподавании математики
В.И.Арнольд
http://www.abitura.com/mathematics/arnold.html

Published in Uspehi Mat. Nauk, 1998
Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики
в Palais de De-couverte в Париже 7 марта 1997 г.

Математика --- часть физики. Физика --- экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика --- это та часть физики, в которой эксперименты дешевы.

Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) --- такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его можно с меньшими затратами.

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам --- и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.
Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сектантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем ввести в теорию, пополнив ее (уступая потребностям физики и реального мира) некоторыми "идеальными" объектами.

К сожалению, именно подобное уродливое извращенное построение математики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распространилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других странах, включая Россию).

Ученик французской начальной школы на вопрос "сколько будет 2+3" ответил: "3+2, так как сложение коммутативно". Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!

Другой французский школьник (на мой взгляд, вполне разумный) определил математику так: "там есть квадрат, но это нужно еще доказать".

По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о математике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в Ecole Normale Superieure --- этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко больше всего) --- столь же убого, как у этого школьника.

Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме поверхности, заданной уравнением xy=z2, вызывает у математиков, обучающихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную параметрическими уравнениями (вроде x=t3-3t, y=t4-2t2) --- задача совершенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства французских профессоров математики).

Начиная с первого учебника анализа Лопиталя ("анализ для понимания кривых линий") и примерно до учебника Гурса, умение решать подобные задачи считалось (наряду со знанием таблицы умножения) необходимой частью ремесла каждого математика.
Обиженные Богом ревнители "абстрактной математики" выбросили из преподавания всю геометрию (через которую в математике чаще всего осуществляется связь с физикой и реальностью). Учебники анализа Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выброшены на свалку студенческой библиотекой Университетов Париж 6 и 7 (Жюсье) как устаревшие и потому вредные (только благодаря моему вмешательству удалось их спасти).

Студенты ENS, прослушавшие курсы дифференциальной и алгебраической геометрии (прочитанные уважаемыми математиками), оказались незнакомыми ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y2=x3+ax+b, ни вообще с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об эллиптических интегралах первого рода и о групповом свойстве эллиптической кривой, т.е. о теореме сложения Эйлера--Абеля) --- их учили лишь структурам Ходжа и якобиевым многообразиям!

Как могло сложиться такое положение во Франции, давшей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре, Лере и Тома? Мне кажется, разумное объяснение дал И.Г. Петровский, учивший меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки, но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или "прикладная и индустриальная" проблематика), но сущностью всегда остается решение социальной проблемы --- самосохранение в условиях более грамотного окружения.

Напомню, кстати, предостережение Л. Пастера --- никогда не существовало и не будет существовать никаких "прикладных наук", есть лишь приложения наук (весьма полезные!).

В те времена я относился к словам Петровского с некоторым сомнением, но теперь я все более и более убеждаюсь, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам--обобщателям. Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются именами их открывателей.

Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достижения почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками. Проф. М. Берри сформулировал однажды следующие два принципа:
Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это --- не имя первооткрывателя.
Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе.

Мой профиль

Вернусь, однако, к преподаванию математики во Франции.
Когда я учился на первом курсе мех.-мата МГУ, лекции по анализу читал теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно пересказывающий старый классический курс анализа французского образца, типа Гурса. Он сообщил нам, что интегралы от рациональных функций вдоль алгебраической кривой берутся, если соответствующая риманова поверхность --- сфера, и, вообще говоря, не берутся, если род ее выше, и что для сферичности достаточно существования на кривой данной степени достаточно большого числа двойных точек (вынуждающих кривую быть уникурсальной: ее вещественные точки можно нарисовать на проективной плоскости единым росчерком пера).

Эти факты настолько поражают воображение, что (даже сообщенные без всяких доказательств) дают большее и более правильное понятие о современной математике, чем целые тома трактата Бурбаки. Ведь мы узнаем здесь о существовании замечательной связи между вещами на вид совершенно различными: существованием явного выражения для интегралов и топологией соответствующей римановой поверхности, с одной стороны, а с другой стороны --- между числом двойных точек и родом соответствующей римановой поверхности, проявляющемся вдобавок в вещественной области в виде уникурсальности.

Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника.

Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.
Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.

Дегеометризация математического образования и развод с физикой разрывает эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебраические геометры в большинстве своем не знают об упомянутом здесь Якоби факте: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения вдоль эллиптической фазовой кривой в соответствующей гамильтоновой динамической системе.

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам студентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.

От моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исключаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но все же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимствовал у Пуанкаре.

Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).

В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полученные заключения.

Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими "фактами" по правилам формальной логики, объявляя "теоремами" все то, что из них можно вывести.
Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывает известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надежный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.
Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов ("доказательств"), тем менее надежен окончательный результат.

Мой профиль

Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).

Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот --- явно неправильный с точки зрения естествознания --- путь часто приводит к полезным результатам в физике, называют "непостижимой эффективностью математики в естественных науках" (или "принципом Вигнера").

Здесь можно добавить замечание, принадлежащее И.М. Гельфанду: существует еще один феномен, сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффективностью математики в физике --- это столь же непостижимая неэффективность математики в биологии.

"Тонкий яд математического образования" (по выражению Ф. Клейна) для физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от реальности и перестает с нею сравниваться. Вот самый простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt=x однозначно определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интегральные кривые на плоскости (t,x) не пересекают друг друга). Этот вывод математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с начальными условиями x(0)=0 и x(0)=1 при t=-10 практически пересекаются, а при t=-100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства пространства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой геометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации --- явное превышение точности модели. При практическом применении модели это надо иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый надлежащими неидеально упругими телами). Между прочим, с этой проблемой пришлось всерьез столкнуться при посадке первых же спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также при причаливании к космическим станциям --- здесь теорема единственности работает против нас.

К сожалению, ни подобные примеры, ни обсуждение опасности фетишизирования теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом).
Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего --- примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители.

Технология борьбы с подобными ошибками --- такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов.

Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение --- модель --- исследование модели --- выводы --- проверка наблюдениями) и замена ее схемой: определение --- теорема --- доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения "столбиком". Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и ее доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.

Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику --- сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.

Раскрою еще несколько подобных секретов (в интересах несчастных студентов).
Определитель матрицы --- это (ориентированный) объем параллелепипеда, ребра которого --- ее столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.

Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя операциями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары операций? "Да пропади она пропадом, эта математика" --- заключает студент (делающийся в будущем, возможно, министром науки).

Положение становится совершенно иным, если начать не с группы, а с понятия преобразования (взаимно-однозначного отображения множества в себя), как это и было исторически. Набор преобразований какого-либо множества называется группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями он содержит результат их последовательного применения, а вместе с каждым преобразованием --- обратное преобразование.
Вот и все определение --- так называемые "аксиомы" --- это на самом деле (очевидные) свойства групп преобразований. То, что аксиоматизаторы называют "абстрактными группами" --- это просто группы преобразований различных множеств, рассматриваемые с точностью до изоморфизма (взаимно-однозначного отображения, сохраняющего операции). Никаких "более абстрактных" групп в природе не существует, как это доказал Кэли. Зачем же алгебраисты до сих пор мучают студентов абстрактным определением?

Между прочим, в 1960-е годы я преподавал теорию групп московским школьникам. Избегая аксиоматики и оставаясь возможно ближе к физике, я за полгода дошел до теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (научив школьников попутно комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группам и группам монодромии алгебраических функций). Этот курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым, в виде книги "Теорема Абеля в задачах".

Что такое гладкое многообразие? В недавней американской книге я прочел, что Пуанкаре не был знаком с этим (введенным в математику им самим) понятием, и что "современное" определение дано лишь в конце 1920-х годов Вебленом: многообразие --- это топологические пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.
За какие грехи вынуждены студенты продираться через все эти ухищрения? На самом деле в Analysis Situs Пуанкаре имеется совершенно явное определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее "абстрактного".

Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства RN --- это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки представляет собой график гладкого отображения Rk в RN-k (где Rk и RN-k --- координатные подпространства). Это --- прямое обобщение самых обычных гладких кривых на плоскости (скажем, окружности x2+y2=1) или кривых и поверхностей в трехмерном пространстве.

Мой профиль

Между гладкими многообразиями естественно определяются гладкие отображения. Диффеоморфизмы --- это отображения, гладкие вместе со своими обратными.
"Абстрактное" гладкое многообразие --- это гладкое подмногообразие какого-либо евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма. Никаких "более абстрактных" конечномерных гладких многообразий в природе не существует (теорема Уитни). Зачем же мы до сих пор мучаем студентов абстрактным определениям? Не лучше ли доказать им теорему о явной классификации двумерных замкнутых многообразий (поверхностей)?

Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что всякая компактная связная ориентируемая поверхность --- это сфера с некоторым числом ручек) дает правильное представление о том, что такое современная математика, а вовсе не сверхабстрактные обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, не дающие на самом деле ничего нового и выдаваемые аксиоматизаторами за достижения.
Теорема о классификации поверхностей --- математическое достижение высшего класса, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли сам факт математике или физике. По своему значению и для приложений, и для выработки правильного мировоззрения он далеко превосходит такие "достижения" математики, как решение проблемы Ферма или доказательство того, что всякое достаточно большое целое число представляется в виде суммы трех простых чисел.
Ради рекламы современные математики иногда выдают подобные спортивные достижения за последнее слово своей науки. Понятно, что это не только не способствует высокой оценке математики обществом, а, напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости затраты усилий на занятия (типа скалолазания) этими экзотическими и неизвестно зачем и кому нужными вопросами.
Теорема о классификации поверхностей должна была бы входить в курсы математики средней школы (вероятно, без доказательства), но не входит почему-то даже в университетские курсы математики (из которых во Франции, впрочем, за последние десятилетия изгнана вообще вся геометрия).

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к изложению важной естественнонаучной области --- особенно насущная задача для Франции. Для меня было удивительным, что студентам здесь практически неизвестны (и, кажется, не переводились на французский язык) все самые лучшие и важные в методическом отношении математические книги: "Числа и фигуры" Радемахера и Теплица, "Наглядная геометрия" Гильберта и Кон-Фоссена, "Что такое математика" Куранта и Роббинса, "Как решать задачу" и "Математика и правдоподобные рассуждения" Полиа, "Лекции о развитии математики в девятнадцатом столетии" Ф. Клейна.
Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел на меня в школьные годы курс анализа Эрмита (существующий, между прочим, в русском переводе!).

Римановы поверхности появлялись в нем, кажется, в одной из первых лекций (весь анализ был, конечно, комплексным, как это и должно быть). Асимптотики интегралов исследовались при помощи деформаций путей на римановых поверхностях при движении точек ветвления (теперь мы это назвали бы теорией Пикара--Лефшеца; Пикар, кстати, был зятем Эрмита --- математические способности часто передаются зятьям: династия Адамар --- П. Леви --- Л. Шварц --- У. Фриш --- еще один знаменитый пример в Парижской Академии наук).

"Устарелый" курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо современнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают студентов.

Если математики не образумятся сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.
Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас --- не знающий разницы между открытым и замкнутым множеством.

Мой профиль

Вся математика - за 7 дней. Вып. 1
http://subscribe.ru/archive/culture.people.ulu/200702/28183403.html

Григорий Громыко: Напомню кратко. Идея "освоить всю математику за 7 дней" базируется не на том, чтобы "за 7 дней впихнуть в башку всю математику", - это вряд ли реально да и не нужно никому, а на том, чтобы освоить навыки работы, необходимые и достаточные для того, чтобы "в математике мочь все".

Именно поэтому я тщательно слежу за своей речью и не говорю "за 7 дней выучить всю математику", а говорю "за 7 дней освоить всю математику", то есть освоить навыки, позволяющие работать с любым разделом математики, включая еще не созданные ее разделы.

Таким образом, основа моей технологии лежит не в информационном наполнении собственно математики, а в человеке, которому предстоит с этим наполнением работать.

Мой анализ показал, что для того, чтобы "во всей математике мочь все", достаточно овладеть, - заметьте! не "выучить" что-то там! - всего четырьмя навыками. О них мы писали в следующих выпусках нашей рассылки:

- краткая справка
http://subscribe.ru/archive/culture.people.ulu/200504/08093846.html

- общая схема технологии
http://subscribe.ru/archive/culture.people.ulu/200502/04210345.html

- общее описание и дискуссия
http://subscribe.ru/archive/culture.people.ulu/200502/16143737.html

Сегодня мы работаем над созданием элементов, составляющих технологию, с тем, чтобы запустить ее реально и опробовать. Эта работа в настоящее время сосредоточилась на подборе учебных задач, при выполнении которых натренировывается один или более из необходимых навыков.

Всего таких задач необходимо подобрать примерно 500 штук. Каждая задача на ее решение должна занимать от 1 до 5 минут, то есть в среднем около трех минут на решение одной задачи.

В этом выпуске рассылки мы предлагаем Вам принять участие в подборе задач. Для примера вот две задачи.

1. - тренируемые навыки 3, 4, 2
Дана река (к сожалению, схему мы здесь не можем дать по техническим причинам), - рисуем две параллельных линии. На двух разных берегах реки есть две деревни, - рисуем две точки, - они расположены не на одном перпендикуляре к реке! Нужно построить через реку мост в таком месте, чтобы путь от одной деревне к другой был самым коротким, - мост рисуем перпендикулярно к берегам реки одной линией. В каком месте нужно расположить мост?

2. - тренируемые навыки 3, 4, 2
Дан угол, меньший 180 градусов, - рисуем. В нутрии него дана точка, - ставим произвольно точку внутри угла. Нужно на сторонах угла задать (указать) две точки, - по одной на каждой стороне, - так, чтобы периметр треугольника, построенного по трем точкам, был наименьшим.

Обращаю внимание тех наших читателей, которые пришлют нам свои задачи, на то, что каждая задача сопровождается справкой о том, какие именно навыки в ней тренируются.

Напомним список необходимых и достаточных навыков:

1. владеть архитектурой формул, - образец см. http://www.paarschool.com/gn/k-m7/mate-01.jpg

2. проводить доказательства (доказывать);

3. преобразовывать словесный текст в формульный (аналитический) и в схемный, и обратно из схемного в формульный и текстовый;

4. конструировать, трансформировать и измерять объекты.

Дальнейшие выпуски этой серии "вся математика - за 7 дней" мы посвятим процессу создания технологии. Участвуйте!

На сегодня пока - все. До следующей встречи, друзья! Пишите иногда

© Громыко Григорий Олегович. Ссылка на автора рассылки, на его е-адрес и на сайт http://www.paarschool.com при перепечатке обязательна.

Мой профиль

http://www.moscow.yabloko.ru/bounimovich/novgaz4800.html
МАТ — ЭТО ШАХ
Куда ж мы без математики
Евгений БУНИМОВИЧ, вице-президент Российской ассоциации учителей математики, 18.09.2000

По предложению Международного математического союза, поддержанному ЮНЕСКО, 2000 год объявлен Всемирным годом математики. В новогоднюю ночь весь мир завороженно наблюдал, как под оглушительные пиротехнические затеи три нуля разом сменили три девятки предыдущего года, а двойка — единицу, и математики, разумеется, не могли не воспользоваться этой нехитрой магией чисел в своих интересах. Ибо к началу нового тысячелетия выяснилось, что позиции математики как в нашем отечестве, так и во всем почему-то продолжающем называться цивилизованным мире совсем не столь прочны, а перспективы не столь радужны, как еще недавно казалось...

Летят двое на воздушном шаре. Видят внизу прохожего и кричат ему:
— Вы не подскажете, где мы находимся?
Прохожий помолчал, подумал и ответил:
— Вы находитесь на воздушном шаре.
Летят они дальше. Один говорит другому:
— Этот прохожий наверняка математик.
— Почему ты так решил?
— Во-первых, он подумал, прежде чем ответить. Во-вторых, он абсолютно прав. И в-третьих, совершенно непонятно, кому эта правда нужна и что с ней делать.

Уровень математической грамотности неуклонно снижается, и скрыть это уже не удается. Помню, как во время одной из наших перманентных инфляций министр-экономист-монетарист не моргнув глазом сообщил, что курс рубля за год снизился на тысячу процентов (!), и эту ужасную, но абсолютно необъяснимую весть повторили комментаторы всех телеканалов. А буквально на днях популярная газета миллионным тиражом напечатала анекдот про нового русского, объясняющего сыну, что чистоплотность — это чисто масса, умноженная на чисто объем. Из чего следовало, что уровень образования редакционных работников и высмеиваемого ими нового русского примерно одинаков.
Ну а действительно: какая, в конце концов, разница, умножить или разделить, какая польза в этой математике, если сами математики со свойственной им скрупулезностью высчитали, что только 2—3% того, что они напридумывали за несколько тысячелетий, нашло применение на практике?
То есть КПД математики ниже, чем у паровоза!
Да, конечно, эти 2—3% дали такой фантастический эффект, что окупили развитие математики минимум на тысячелетие вперед. Но ведь никому и никогда не ведомо, какая именно математическая идея потрясет основы! Ну кто предполагал в середине XVII века, когда Блез Паскаль придумал свою суммирующую машину, или даже в середине XIX века, когда Джордж Буль создал алгебру логики, а Чарльз Беббидж впервые ясно представил себе универсальную вычислительную машину, что столетие спустя компьютер буквально перевернет мир?
С некоторой оторопью сегодня приходится признать: окончание вооруженного противостояния, холодной войны, демократизация общества неуклонно ведут к упадку фундаментальных наук в целом и математики в частности, а также к падению уровня соответствующих знаний нового поколения...
Хотя министр образования всюду козыряет данными об успешных выступлениях наших школьников и студентов на международных математических и компьютерных олимпиадах, он сам математик и потому не может не понимать, что блестящие успехи нескольких одаренных ребят и их тренеров никак не могут быть критерием успешности всего нашего образования. Ведь и профессиональные наши спортсмены все еще побеждают на чемпионатах мира и Олимпийских играх, но это никак не мешает здоровью россиян неуклонно ухудшаться, а продолжительности жизни — уменьшаться.
Кстати, среди победителей матолимпиад последних лет немало представителей Китая и Ирана. Именно тоталитарные общества, заинтересованные в ультрасовременном ядерном вооружении, интенсивно готовят свою математическую элиту.
По данным международного исследования математической подготовки школьников, именно в таких странах отроки и отроковицы лучше всего приводят дроби к общему знаменателю...

— Вы умеете играть на скрипке? — спросили у бизнесмена.
— Никогда не пробовал, но думаю, что смогу, — ответил бизнесмен.

Кстати, о дробях и демократии. Моя выпускница, а ныне студентка одного из американских университетов, подрабатывающая репетиторством, никак не может научить свою ученицу Мейган, толковую девчонку, чуть ли не лучшую в классе по математике, сложению простых дробей.
И вот что самое любопытное. Наши школьники, уж если забыли правило, не выучили формулу, молчат как партизаны или ждут спасительной подсказки. А Мейган каждый раз выдает кучу неверных ответов, отважно складывая, например, сначала числители, а затем знаменатели: 1/2+1/3=2/5. Потому что никогда не пробовала, но, наверно, смогу!
Кстати, в последнее время и московские мои ученики все реже молчат и думают (см. эпиграф номер раз), все чаще с ходу орут ответы (см. эпиграф номер два).
При этом их нисколько не смущает, что ответы у всех получаются, естественно, разные. Похоже, они искренне полагают, что разнообразие ответов в задаче суть несомненное проявление плюрализма и демократии, а верным ответом будет тот, за который голосует большинство.
Да и вообще: зачем грузят, зачем напрягают, если у каждого есть калькулятор, последние модели которого, кстати, умеют складывать не только десятичные, но и эти самые простые дроби?

Петька спрашивает у Василия Иваныча:
— Скажи, Василий Иваныч, вот у поезда колеса круглые, а почему же они стучат?
— А ты что, Петька, формулу площади круга не знаешь: пи-эр-квадрат! Вот квадрат и стучит.

Между прочим, ответ на вопрос, зачем всем уметь складывать простые дроби, совсем не так очевиден, как кажется. На экспертном совете по математике в Минобразовании сначала никто не мог привести пример, где же в реальной жизни приходится их складывать. Наконец профессор Дорофеев вспомнил, что дроби складывают при делении наследства: вдове по закону положена половина плюс еще часть от второй половины, которая делится в равных долях между всеми наследниками.
Но дело-то в том, что из ненужности в быту сложения дробей вовсе не следует, что все это надо выкидывать из школьного курса! Да и не в дробях дело, а в умении (или неумении) точно воспроизвести последовательность действий, предварительно осознав их суть и логику, в умении отличать верное рассуждение от неверного. И, обучая математике, мы прежде всего обучаем всему этому — с помощью математики.
Ведь людьми, не умеющими логично рассуждать, отличать доказанное от недоказанного, куда легче манипулировать, вешать им лапшу на уши, втягивать в разнообразные политические и экономические МММ. И, в конце концов, в чем вообще цель школьного образования вообще и математического в частности, если не в формировании человека разумного, общества — гражданского, электората — грамотного?
Простите за высокопарность.

Мой профиль

(продолжение)

— Сколько будет три плюс два?
— Это будет два плюс три, так как сложение коммутативно.

В отличие от предыдущих эпиграфов это не анекдот, а подлинный диалог в начальной школе, приведенный академиком Арнольдом в его статье «Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции». Академик прав. Выхолостив свой предмет, отвергнув любую связь с реальностью, доведя школьные программы до немыслимой степени абстракции и формализма, математики сами во многом оказались виноваты в нынешнем пренебрежении, если не отвращении, к математике со стороны власть имущих и общества.
Когда мы с французскими коллегами не смогли получить помощь ни от фондов, ни от министерств на продолжение программы сотрудничества, потому что «средства есть только на культурные обмены», мы сначала возмутились чиновниками, не понимающими, что математика — неотъемлемая часть человеческой культуры. А потом поняли: ведь это наши ученики, это наша вина, мы им этого не смогли или не захотели объяснить в школе.
Грустно наблюдать, как из школьных программ постепенно исчезает геометрия. Меж тем, по свидетельству геометра Игоря Шарыгина, в знаменитой своими высокими технологиями Японии именно геометрия с ее красотой, образностью видения и мышления, связью с реальностью является основой школьного образования. Причем не наши прямоугольники и треугольники, а круг.
Почему круг, а не прямоугольник? Но разве мы сами, мир вокруг нас прямоуголен? Разве прямоугольна природа? Вот цивилизация действительно прямоугольна: наши дома, окна, столы, двери. Но, может, это ошибка развития?
Вы заметили, какие плавные, округлые, обтекаемые формы приобрели в последнее время автомобили, самолеты, сверхскоростные поезда. Это делает их быстрее, удобнее, надежнее. А ведь прежде были такими неуклюжими, такими прямоугольными. Так может, самым лучшим нашим математиком является поэт Наум Коржавин, написавший хрестоматийное: «Я с детства полюбил овал за то, что он такой законченный»? Прав оказался незабвенный Василий Иваныч: квадрат действительно стучит.
Пора заниматься математической пропагандой, рекламой. Пора сообщить всем с экрана телевизора, что самый клевый прикид, который не рвется, не требует стирки, никогда не выходит из моды, — это вовсе не джинсы, а Пифагоровы штаны. И что вообще-то настоящая математика — это кайф, балдеж, свежий воздух, это, быть может, единственный экологически чистый продукт, потребляемый ребенком в школе.
Собственно, об этом несколько раньше и несколько витиеватее написал в своем трактате Бонавентуро Кавальери: «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел, поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, — так нет никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей ни отталкивала его), не стремился бы освоить их вполне до полного насыщения».

P.S.
По данным отделения математики Академии наук, ВСЕ расходы за год этого отделения в советскую эпоху соответствовали стоимости ОДНОГО танка, а сейчас — одной десятой того же танка...

P.P.S.
Завтра в Дубне открывается первая за всю советскую и постсоветскую историю конференция «Математика и общество». Лед тронулся?